Question

7．已知函数$f（x）=\frac{mx+1}{{1+{x^2}}}$是R上的偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断并证明函数y=f（x）在（-∞，0]上单调性；
（3）求函数y=f（x）在[-3，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性，求出m的值；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出函数的最值即可．

解答 解：（1）若函数$f（x）=\frac{mx+1}{{1+{x^2}}}$是R上的偶函数，则f（-x）=f（x），
即$\frac{m（-x）+1}{{1+{{（-x）}^2}}}=\frac{mx+1}{{1+{x^2}}}$，对任意实数x恒成立，解得m=0．
（2）由（1）得：$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
函数y=f（x）在（-∞，0]上为增函数，下证明：
设任意x₁，x₂∈（-∞，0]且x₁＜x₂，即△x=x₂-x₁＞0
则$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{1}{1+x_2^2}-\frac{1}{1+x_1^2}$=$\frac{x_1^2-x_2^2}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}=\frac{{-（{x_2}-{x_1}）（{x_2}+{x_1}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}$
∵x₁，x₂∈（-∞，0]且△x=x₂-x₁＞0，
∴$\frac{{-（{x_2}-{x_1}）（{x_2}+{x_1}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}＞0$，即△y＞0，
于是函数y=f（x）在（-∞，0]上为增函数．
（3）由（2）知，函数y=f（x）在（-∞，0]上为增函数，
又f（x）是偶函数，则y=f（x）在[0，+∞）上为减函数，
又$f（-3）=\frac{1}{10}$，f（0）=1，$f（2）=\frac{1}{5}$，
所以f（x）的最大值为1，最小值为$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．