过圆O:x2+y2=r2上一点M作圆O的切线l与椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$交于点A.B两点．.r=2$\sqrt{2}$.点C的坐标为(4.4).求$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值(2)若r=1.直线l与椭圆E交于C.D两点.且N是线段CD的中点.求中点N的轨迹方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．过圆O：x²+y²=r²（r＞0）上一点M作圆O的切线l与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$交于点A，B两点．
（1）若点M的坐标为（2，2），r=2$\sqrt{2}$，点C的坐标为（4，4），求$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值
（2）若r=1，直线l与椭圆E交于C，D两点，且N是线段CD的中点，求中点N的轨迹方程．

分析（1）过M（2，2）的圆O的切线l的方程，联立椭圆方程，求出交点A，B的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$的坐标，代入向量数量积公式，可得答案；
（2）求出圆上一点M的切线方程，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x，y），由椭圆方程，运用点差法和中点坐标公式，可得CD的斜率，结合m²+n²=1，消去m，n即可得到所求轨迹方程．

解答解：（1）由题意可得圆x²+y²=8，过M（2，2）的切线方程为y-2=-（x-2），
即为y=4-x，
代入椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$，可得：13x²-32x-80=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{20}{13}}\\{y=\frac{72}{13}}\end{array}\right.$，即有A（4，0），B（-$\frac{20}{13}$，$\frac{72}{13}$），
又由C（4，4）得：$\overrightarrow{CA}$=（0，-4），$\overrightarrow{CB}$=（-$\frac{72}{13}$，$\frac{20}{13}$）
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0×（-$\frac{72}{13}$）+（-4）×$\frac{20}{13}$=-$\frac{80}{13}$；
（2）圆x²+y²=1，设M（m，n），则切线的方程为l：mx+ny=1，且m²+n²=1，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x，y），
由N是线段CD的中点，可得2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{36}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{36}$=1，两式相减可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{36}$=0，
代入中点坐标公式可得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9x}{4y}$，
即有$\frac{m}{n}$=$\frac{9x}{4y}$，又m²+n²=1，解得m=$\frac{9x}{\sqrt{81{x}^{2}+16{y}^{2}}}$，n=$\frac{4y}{\sqrt{81{x}^{2}+16{y}^{2}}}$，
代入mx+ny=1，化简可得，
81x⁴+16y⁴+72x²y²-81x²-16y²=0．
则有中点N的轨迹方程为81x⁴+16y⁴+72x²y²-81x²-16y²=0．