Question

15．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E₁，F₁分别是A₁B₁，C₁D₁的一个四等分点，
（1）求BE₁与DF₁所成的角的余弦值；
（2）求证：A₁B⊥AC₁．

Answer 1

分析 根据题图中的坐标系得到向量$\overrightarrow{B{E}_{1}}，\overrightarrow{D{F}_{1}}，\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$的坐标，利用向量的坐标运算解答．

解答 解：（1）由已知题图中坐标系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E₁（1，$\frac{3}{4}$，1），F₁（0，$\frac{1}{4}$，1），
$\overrightarrow{B{E}_{1}}$=（0，$-\frac{1}{4}$，1），$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=（0，$\frac{1}{4}$，1），
所以cos＜$\overrightarrow{B{E}_{1}}，\overrightarrow{D{F}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{E}_{1}}•\overrightarrow{D{F}_{1}}}{|\overrightarrow{B{E}_{1}}||\overrightarrow{D{F}_{1}}|}$=$\frac{\frac{15}{16}}{\sqrt{\frac{17}{16}}\sqrt{\frac{17}{16}}}=\frac{15}{17}$，
所以BE₁与DF₁所成的角的余弦值为$\frac{15}{17}$；
（2）由（1）得$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，1），
所以$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，
所以$\overrightarrow{{A}_{1}B}⊥\overrightarrow{A{C}_{1}}$
所以₁B⊥AC₁．

点评 本题考查了正方体中线线关系的判断；解答本题的关键是利用空间向量的数量积．