题目内容

在等边△ABC中，AB=6cm，长为1cm的线段DE两端点D，E都在边AB上，且由点A向点B运动（运动前点D与点A重合），FD⊥AB，点F在边AC或边BC上；GE⊥AB，点G在边AC或边BC上，设AD=xcm．
（1）若△ADF面积为S₁=f（x），由DE，EG，GF，FD围成的平面图形面积为S₂=g（x），分别求出函数f（x），g（x）的表达式；
（2）若四边形DEGF为矩形时x=x₀，求当x≥x₀时，设 $数学公式$ ，求函数F（x）的取值范围．

解：（1）①当0＜x≤3时，F在边AC上， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
当3＜x≤5时，F在边BC上， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
②当0＜x≤2时，F、G都在边AC上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；
当2＜x≤3时，F在边AC上，G在边BC上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；
当3＜x≤5时，F、G都在边BC上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$
①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
②当3≤x≤5时， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴F（x）的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）当0＜x≤3时，F在边AC上，当3＜x≤5时，F在边BC上，分别求出△ADF面积即可得到函数f（x）的表达式，当0＜x≤2时，F、G都在边AC上，当2＜x≤3时，F在边AC上，G在边BC上，当3＜x≤5时，F、G都在边BC上分别求出由DE，EG，GF，FD围成的平面图形面积即可得到g（x）的表达式；
（2）根据四边形DEGF为矩形求出x₀，讨论x求出F（x）的解析式，然后根据函数的单调性可求出函数F（x）的取值范围．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用导数研究函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．