Question

在等边△ABC中，AB=6cm，长为1cm的线段DE两端点D，E都在边AB上，且由点A向点B运动（运动前点D与点A重合），FD⊥AB，点F在边AC或边BC上；GE⊥AB，点G在边AC或边BC上，设AD=xcm．
（1）若△ADF面积为S₁=f（x），由DE，EG，GF，FD围成的平面图形面积为S₂=g（x），分别求出函数f（x），g（x）的表达式；
（2）若四边形DEGF为矩形时x=x₀，求当x≥x₀时，设F(x)=

f(x)

g(x)

，求函数F（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当0＜x≤3时，F在边AC上，当3＜x≤5时，F在边BC上，分别求出△ADF面积即可得到函数f（x）的表达式，当0＜x≤2时，F、G都在边AC上，当2＜x≤3时，F在边AC上，G在边BC上，当3＜x≤5时，F、G都在边BC上分别求出由DE，EG，GF，FD围成的平面图形面积即可得到g（x）的表达式；
（2）根据四边形DEGF为矩形求出x₀，讨论x求出F（x）的解析式，然后根据函数的单调性可求出函数F（x）的取值范围．

解答：解：（1）①当0＜x≤3时，F在边AC上，FD=xtan600=

3

x，
∴f(x)=

3

2

x2；
当3＜x≤5时，F在边BC上，FD=(6-x)tan600=

3

(6-x)，
∴f(x)=

3

2

x(6-x)
∴f(x)=

3 2 x2，0＜x≤3 3 2 x(6-x)，3＜x≤5

（4分）
②当0＜x≤2时，F、G都在边AC上，FD=xtan600=

3

x，EG=

3

(x+1)
∴g(x)=

3 x+ 3 (x+1)

2

•1=

3

x+

3

2

；
当2＜x≤3时，F在边AC上，G在边BC上，FD=

3

x，EG=

3

(5-x)
∴g(x)=

5 3

2

；
当3＜x≤5时，F、G都在边BC上，FD=

3

(6-x)，EG=

3

(5-x)
∴g(x)=-

3

x+

11

2

3

∴g(x)=

3 x+ 3 2 ，0＜x≤2 5 3 2 ，2＜x≤3 - 3 x+ 11 2 3 ，3＜x≤5

（10分）
（2）x0=

5

2

（11分）
①当

5

2

≤x≤3时，F(x)=

x2

5

，
∴

5

4

≤F(x)≤

9

5

（13分）
②当3≤x≤5时，F(x)=

x2-6x

2x-11

，
∵F′(x)=

2x2-22x+66

(2x-11)2

＞0
∴

9

5

≤F(x)≤5
∴F（x）的取值范围为[

5

4

，5]．（16分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用导数研究函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．