已知两个无穷数列{an}.{bn}分别满足$\left\{\begin{array}{l}{{a} {1}=1}\\{|{a} {n+1}-{a} {n}|=2}\end{array}\right.$.$\left\{\begin{array}{l}{{b} {1}=-1}\\{|\frac{{b} {n+1}}{{b} {n}}|=2}\end{array}\right.$.其中n∈N*.设数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知两个无穷数列{a_n}，{b_n}分别满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{|{a}_{n+1}-{a}_{n}|=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-1}\\{|\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}|=2}\end{array}\right.$，其中n∈N^*，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n．
（1）若数列{a_n}，{b_n}都为递增数列，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若数列{c_n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c_k＜c_k-1，称数列{c_n}为“k坠点数列”．
①若数列{a_n}为“5坠点数列”，求S_n．
②若数列{a_n}为“p坠点数列”，数列{b_n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得S_m+1=T_m，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．

分析（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，由此可得数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案；
（2）①根据题目条件判断：数列{a_n}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，求解S_n即可．
②运用数列{b_n}为“坠点数列”且b₁=-1，综合判断数列{b_n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S_m+1=T_m，显然m≠1，且T_m为奇数，而{a_n}中各项均为奇数，可得m必为偶数．再运用不等式证明m≤6，求出数列即可．

解答解：（1）∵数列{a_n}，{b_n}都为递增数列，
∴由递推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，
则数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}从第二项起构成等比数列．
∴a_n=2n-1，${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）①∵数列{a_n}满足：存在唯一的正整数k=5，使得a_k＜a_k-1，且|a_n+1-a_n|=2，
∴数列{a_n}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，
故${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，n≤4}\\{{n}^{2}-4n+16，n≥5}\end{array}\right.$；
②∵$|\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}|=2$，即b_n+1=±2b_n，
∴|b_n|=2^n-1，
而数列{b_n}为“坠点数列”且b₁=-1，
∴数列{b_n}中有且只有两个负项．
假设存在正整数m，使得S_m+1=T_m，显然m≠1，且T_m为奇数，而{a_n}中各项均为奇数，
∴m必为偶数．
首先证明：m≤6．
若m＞7，数列{a_n}中（S_m+1）_max=1+3+…+（2m+1）=（m+1）²，
而数列{b_n}中，b_m必然为正，否则${T}_{m}=-1+{b}_{2}+…+（-{2}^{m-1}）$≤-1+2¹+…+2^m-2+（-2^m-1）=-3＜0，显然矛盾；
∴$（{T}_{m}）_{min}=-1+{2}^{1}+…+{2}^{m-3}+（-{2}^{m-2}）+{2}^{m-1}$=2^m-1-3．
设${c}_{m}={2}^{m-1}-（m+1）^{2}-3$，
设${d}_{m}={c}_{m+1}-{c}_{m}={2}^{m-1}-2m-3$，
而${d}_{m+1}-{d}_{m}={2}^{m-1}-2＞$0（m＞7），
∴{d_m}（m＞7）为增数列，且d₇＞0，则{c_m}（m＞7）为增数列，而c₈＞0，
∴（T_m）_min＞（S_m）_max，
即m≤6．
当m=6时，构造：{a_n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b_n}为-1，2，4，8，-16，32，64，…
此时p=2，q=4．
∴m_max=6，对应的p=2，q=4．