Question

如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,BC∥PA交⊙O于C,MC∥AB交⊙O于D,交PB,PA的延长线于M,Q.
(1)求证:AD∥PM
(2)设⊙O的半径长为1,PA=PB=2,求CD的长

Answer 1

(1)见解析
(2)

(1)∵PA,PB切⊙O于A,B两点,
∴∠PBA=∠PAB
又BC∥PA
∴∠PAB=∠ABC
又∠ADC=∠ABC(同弧所对的圆周角相等)
∴∠PBA=∠ADC
又AB∥MC
∴∠PBA=∠M
∴∠ADC=∠M
∴AD∥PM
(2) 连接OP,OB,则OB⊥PB
∵OB=1,PB=2
∴OP=
∴AB=

连接AC
∵BC∥PQ
∴AC=AB=,∠CAQ=∠BAP
又AB∥CQ
∴∠Q=∠BAP,∴∠Q=∠CAQ,即CQ=CA=
显然△PAB∽△CAQ
∴AQ=
由切割线定理得
AQ²=QC·QD()²=×QDQD==×<QC
∴CD=QC-QD=-×=×=(此时D点在AC弧上)