Question

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q．
（1）求证：
（2）若AQ=2AP，AB=,BP=2，求QD．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）．

试题分析：本题主要考查同位角、弦切角、相似三角形、切线的性质、切割线定理等基础知识，考查学生的逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力、转化能力．第一问，先利用同位角相等得到∠PAB=∠AQC,再利用弦切角相等,得到，同理，AQ为切线，则∠QAC=∠CBA,所有得到三角形相似，利用相似得性质得边的比例关系；第二问，由AB//CQ，利用平行线的性质得，得到QC和PC的长，利用切线的性质，得，，得到QD的值．
（1）因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC, 又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB,
因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以,
所以           5分
（2）因为AB∥CD，AQ=2AP，所以,由AB=,BP=2得,PC=6
为圆O的切线
又因为为圆O的切线            10分