Question

6．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$，（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的方程为ρ²-6ρsinθ=-8．
（1）求圆M的直角坐标方程；
（2）若直线l截圆M所得弦长为$\sqrt{3}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标方程和普通方程的关系即可转化为普通方程．
（2）根据直线和圆相交的位置关系结合弦长公式结合点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：（1）由ρ²-6ρsinθ=-8．得x²+y²-6y=-8，
即x²+（y-3）²=1，
则圆M的直角坐标方程为x²+（y-3）²=1．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$消去t得普通方程得3x+4y-3a+4=0，
∵直线l截圆M所得弦长为$\sqrt{3}$，
∴圆心（0，3）到直线l的距离d=$\frac{|16-3a|}{5}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
得a=$\frac{9}{2}$或a=$\frac{37}{6}$．

点评 本题主要考查极坐标和普通方程的关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的计算和转化能力．