Question

10．以下说法正确的是④_．（填写所有正确命题的序号）
①不等式$\frac{x+8}{{x}^{2}+2x+3}$＜2 与不等式$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+8}$＞$\frac{1}{2}$ 解集相同；
②已知命题p：“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，命题q：“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价，则p∨q为真命题，p∧q为假命题；
③命题“$?{x_0}∈R，{2^{x_0}}≤0$”的否定是“?x∉R，2^x＞0”；
④已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，$\frac{1}{2}$），则$f（2）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出第一个不等式的解集，再由第二个不等式分母有意义判断①；分别判断命题p、q为真命题，再由复合命题的真假判断判断②；直接写出特称命题的否定判断③；由已知求出幂函数的解析式，进一步求出f（2）判断④．

解答 解：①、由$\frac{x+8}{{x}^{2}+2x+3}$＜2，得2x²+4x+6＞x+8，解得x＜-2或x$＞\frac{1}{2}$，
∴不等式$\frac{x+8}{{x}^{2}+2x+3}$＜2的解集为{x|x＜-2或x$＞\frac{1}{2}$}，而不等式$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+8}$＞$\frac{1}{2}$的解集中不含有-8，故①错误；
 ②、命题p：“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，命题P为真命题．
∵“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”互为逆否命题，
∴命题q：“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价，命题q为真命题．
则p∨q为真命题，p∧q为真命题，故②错误；
③、命题“$?{x_0}∈R，{2^{x_0}}≤0$”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，故③错误；
④、设幂函数为y=x^α，把点（4，$\frac{1}{2}$）代入，可得$\frac{1}{2}={4}^{α}$，∴α=$-\frac{1}{2}$，
∴幂函数为f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$，则f（2）=${2}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④正确．
∴正确命题的序号是④．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，训练了幂函数解析式的求法，是中档题．