Question

【题目】椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1 ， F2 ， 且离心率为 ，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值是 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A是椭圆C的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交C于A．M两点，点N在C上，MA⊥NA，且|AM|=|AN|．求△AMN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知：椭圆 =1（a＞b＞0）的焦点在x轴，

由e= = ，则a=2c，

设△F1PF2内切圆半径为r，

由△F1PF2的面积为S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c）

∴当S最大，则r最大，

当P为椭圆上下顶点时，△F1PF2的面积最大，其内切圆面积取得最大值，

∵πr2= ，解得：r= ，

△F1PF2的面积最大值Smax= 2cb= （2a+2c），

整理得：bc= （a+c），

则bc= c，解得：b=

由a2=b2+c2，则a=2，b=1，

∴椭圆的标准方程为： ；

（2）解：则直线AM的方程为：y=k（x+2）．

联立 ，整理得，（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

解得：x=﹣2或 ，

则 ，

∵AM⊥AN，

∴ ，

∵|AM|=|AN|，k＞0，

∴ ，

整理得（k﹣1）（4k2﹣k+4）=0，4k2﹣k+4=0无实根，

∴k=1．

△AMN的面积为S= ．

△AMN的面积 ．

【解析】（1）由题意可知：由e= = ，则a=2c，由△F1PF2的面积为S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c），当S最大，则r最大，由πr2= ，解得：r= ，则Smax= 2cb= （2a+2c），则bc= （a+c），即b= ，由a2=b2+c2 ， 则a=2，b=1，即可求得椭圆的方程；（2）由题意可知：设y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式丨AM丨，丨AN丨由|AM|=|AN|，即求得k的值，由三角形的面积公式S= ．