题目内容
3．已知长方体A1B1C1D1-ABCD的外接球的体积为$\frac{32π}{3}$，则该长方体的表面积的最大值为（ ）| A． | 32 | B． | 28 | C． | 24 | D． | 16 |
分析 设长方体ABCD-A1B1C1D1的长宽高分别为x，y，z，根据外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为$\frac{32π}{3}$，得到x2+y2+z2=16，进而根据基本不等式得到长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=2xy+2yz+2zx≤32．
解答 解：设长方体ABCD-A1B1C1D1的长宽高分别为x，y，z，
∵外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为$\frac{32π}{3}$，
∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{32π}{3}$，
∴R=2，
∴长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为4，
则有x2+y2+z2=16，
则长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=2xy+2yz+2zx≤x2+y2+z2+x2+y2+z2=32，
则长方体的表面积的最大值为32，
故选：A．
点评 本题考查的知识点是长方体的表面积，长方体的外接球，球的体积公式，基本不等式，难度中档．
练习册系列答案
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13．
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