Question

已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边，且a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，求这个三角形的最大内角．

Answer 1

分析：先将b、c用a表示，然后判定a、b、c的大小，根据大边对大角，最后根据余弦定理求出最大内角即可．

解答：解：因为a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，所以a²-a-2b-（a+2b+3）=0
所以b=

1

4

(a2-2a-3)=

1

4

(a-3)(a+1)，c=

1

4

(a2+3)------------（3分）
因为b＞0，所以a²-2a-3＞0，所以a＞3，------------（5分）
所以b-c=-

1

2

(a+3)＜0，
即b＜c   ①--------（7分）
又c-a=

1

4

(a2-4a+3)=

1

4

(a-3)(a-1)＞0，
所以c＞a   ②．由①②可得c边最大．---------（8分）
在三角形ABC中，有余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+(b+c)(b-c)

2ab

=

- 1 4 a(a-3)(a+1)

1 2 a(a-3)(a+1)

=-

1

2

所以C=120°，即三角形的最大内角为120⁰---------（11分）

点评：本题主要考查了三角形的边角关系，余弦定理以及特殊角的三角函数值，利用作差的方法得到c为最大边是解题的关键，同时考查了利用了消元的思想，属于中档题．