Question

【题目】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．

（1）求的单调区间；

（2）设，对任意，证明：．

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义，曲线在处的切线方程的斜率就是，写出方程即可求得,因此，设，利用导数研究知当时，从而，当时，从而；（2）因为，要证原式成立即证成立，先证明：对任意，恒成立，再令，则恒成立，所以在上递增，恒成立，即，即，即，而当时，有；当时，由①②式，，故时，成立.

试题解析：（1）因为，由已知得，∴．

所以，设，则，在上恒成立，

即在上是减函数，由知，当时，从而，

当时，从而．

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）因为，要证原式成立即证成立，

现证明：对任意，恒成立，当时，由（1）知成立；

当时，，且由（Ⅰ）知，∴．

设，则，当时，，当时，，所以当时， 取得最大值．

所以.即时，．

综上所述，对任意，恒成立．①

令，则恒成立，所以在上递增，

恒成立，即，即．

②当时，有；当时，由①②式，，

综上所述，时，成立，故原不等式成立.