Question

数列{a_n}满足3a_n=2S_n+3，n∈N^*
（Ⅰ） 求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 令b_n=

1

(log3an)•(log3an+1)

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知知条件推导出3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

an-

3

2

an-1，由此求出an=3n．
（Ⅱ）b_n=

1

(log3an)•(log3an+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足3a_n=2S_n+3，n∈N^*，
∴n=1时，3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．
n≥2时，Sn=

3

2

an-

3

2

，Sn-1=

3

2

an-1-

3

2

，
a_n=S_n-S_n-1=

3

2

an-

3

2

an-1，
整理，得a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为3，
∴an=3n．
（Ⅱ）b_n=

1

(log3an)•(log3an+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．