Question

15．如图，在四棱锥C-ABEF中，底面ABEF是矩形，FA⊥平面ABC，点D，M，N分别是棱AB，CE．CF的中点，点H在棱BE上，且AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=2，AF=3，BH=2．
（1）证明：BM∥平面FDC；
（2）证明：平面FHC⊥平面DCH．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作AF的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BM∥平面FDC．
（2）分别求出平面FHC的法向量和平面DCH的向量法，由此能证明平面FHC⊥平面DCH．

解答 证明：（1）∵在四棱锥C-ABEF中，底面ABEF是矩形，FA⊥平面ABC，
点D，M，N分别是棱AB，CE．CF的中点，点H在棱BE上，
且AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=2，AF=3，BH=2．
∴以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作AF的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，1，0），E（1，0，3），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
F（-1，0，3），D（0，0，0），
$\overrightarrow{DF}$=（-1，0，3），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设平面DCF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-x+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
∵$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{3}{2}$+0+$\frac{3}{2}$=0，BM?平面FDC，
∴BM∥平面FDC．
（2）F（-1，0，3），H（1，0，2），D（0，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{FC}$=（1，1，-3），$\overrightarrow{FH}$=（2，0，-1），
设平面FHC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=a+b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FH}=2a-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，5，2），
$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DH}$=（1，0，2），
设平面DCH的向量法$\overrightarrow{p}$=（m，n，t），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{DC}=n=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{DH}=m+2t=0}\end{array}\right.$，取t=1，得$\overrightarrow{p}=（-2，0，1）$，
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}$=-2+0+2=0，
∴平面FHC⊥平面DCH．

点评 本题考查线面平行和面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．