Question

如图，在四边形ABCD中，CA=CD=

1

2

AB=1，

AB

•

AC

=1，sin∠BCD=

3

5

．
（Ⅰ）求四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）求sinD的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）延长BC到E，过D作DE⊥CE，DF⊥AC，根据题意求出AC=CD=1，AB=2，利用平面向量的数量积运算法则化简

AB

•

AC

=1，求出cos∠BAC的值，确定出∠BAC的度数，利用余弦定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理得到∠ACB为直角，由DF=CE，在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出CE的长，即为DF的长，求四边形ABCD的面积即可；
（Ⅱ）在三角形ACD中，利用余弦定理求出AD的长，再利用正弦定理求出sinD的值即可．

解答：解：（Ⅰ）延长BC到E，过D作DE⊥CE，DF⊥AC，
由条件得：AC=CD=1，AB=2，
∵

AB

•

AC

=1×2×cos∠BAC=1，∴cos∠BAC=

1

2

，
∵∠BAC∈（0，π），
∴∠BAC=

π

3

，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=3，
∴BC=

3

，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=

π

2

，
∵DF=CE=CD•cos∠DCE=1×

1-sin2∠DCE

=

4

5

，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

3

2

+

2

5

；
（Ⅱ）在△ACD中，AD²=AC²+DC²-2AC•DC•cos∠ACD=1+1-

6

5

=

4

5

，
∴AD=

2 5

5

，
∵

AC

sinD

=

AD

sin∠ACD

，
则sinD=

AC

AD

sin∠ACD=

2 5

5

．

点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．