Question

【题目】如图， 是圆柱的上、下底面圆的直径， 是边长为2的正方形， 是底面圆周上不同于两点的一点， .

(1)求证： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：

(1)由题意结合几何关系可证得， ，结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值是．

试题解析：

(1)由圆柱性质知： 平面，

又平面，∴，

又是底面圆的直径， 是底面圆周上不同于两点的一点，∴，

又， 平面，

∴平面.

(2)解法1：过作，垂足为，由圆柱性质知平面平面，

∴平面，又过作，垂足为，连接，

则即为所求的二面角的平面角的补角，

， 易得， ， ，

∴，

由(1)知，∴，

∴，∴，

∴所求的二面角的余弦值为.

解法2：过在平面作，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵， ，∴，∴， ， ，

∴， ，

平面的法向量为，设平面的法向量为，

，即，取，

∴，

∴所求的二面角的余弦值为.

解法3：如图，以为原点， 分别为轴， 轴，圆柱过点的母线为轴建立空间直角坐标系，则

， ， ， ， ，

∴， ， ， ，

设是平面的一个法向量，

则， ，即，令，则， ，

∴， ，

设是平面的一个法向量，

则， ，即，令，则， .

∴， ，

∴，

∴所求的二面角的余弦值为.

解法4：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系：

∵， ，∴，∴， ， ， ，

∴， ， ， ，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

∴， ，

即， ，

，取，

∴.

∴所求的二面角的余弦值为.