Question

【题目】如图，在某商业区周边有 两条公路和，在点处交汇，该商业区为圆心角，半径3的扇形，现规划在该商业区外修建一条公路，与，分别交于，要求与扇形弧相切，切点不在，上.

（1）设试用表示新建公路的长度，求出满足的关系式，并写出的范围；

（2）设，试用表示新建公路的长度，并且确定的位置，使得新建公路的长度最短.

Answer 1

【答案】（1）；（2）时取等号.此时时，新建公路的长度最短.

【解析】试题分析：（1）由余弦定理求出的长，建立直角坐标系，写出直线的方程，利用与扇形弧相切，得出的关系式，再写出的取值范围；

（2）根据，求出的值，写出的解析式，利用三角函数与基本不等式求出它的最小值.

试题解析：（1）在中，；

由余弦定理得： ；所以；

如图，以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，

所以直线的方程为，即；

因为与扇形弧相切，所以，

即.

（2）因为是圆的切线，所以.

在中，，在中，，

所以 ，

所以，，

设，则，

当且仅当，即时取等号.

此时时，新建公路的长度最短.