Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）设过两点的直线的斜率为，其中、为曲线上的任意两点，并且，若恒成立，证明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为,再根据点斜式求切线方程（2）因为导函数为,所以根据， 讨论: ，在上递增； 递增； 递减．（3）由（2）知的单调性，又，所以由恒成立得,利用斜率公式化简得,转化为利用导数证明，易证.

试题解析：解：（1）当时， ，

对函数求导得，

，又，

曲线在处的切线方程为： ；

（2）求导得．

若， ， 在上递增；

若，当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减．

（3）由（2）知，若， 在上递增，

又，故不恒成立．

若，当时， 递减， ，不合题意．

若，当时， 递增， ，不合题意．

若， 在上递增，在上递减，

，合题意．

故，且（当且仅当时取“=”）．

设，

，

因此， .