Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求的最大值与最小值；

（Ⅱ）讨论方程的实根的个数.

Answer 1

【答案】(1) 最小值是,最大值是;(2) 时，方程有1个实根； 时，方程有3个实根.

【解析】试题分析：(1) ,明确函数的单调性，求出极值与端点值，比较后得最值；（2）方程的实根的个数即的图象与x轴的交点个数，分类讨论函数的单调性，借助极值与0的关系确定交点个数.

试题解析：

（Ⅰ）因为，

所以，

令得， 的变化如下表：

在上的最小值是，

因为，

所以在上的最大值是.

（Ⅱ），

所以或，

设，则， 时， ， 时， ，

所以在上是增函数，在上是减函数， ，

且，

（ⅰ）当时，即时， 没有实根，方程有1个实根；

（ⅱ）当时，即时， 有1个实根为零，方程有1个实根；

（ⅲ）当时，即时， 有2不等于零的实根，方程有3个实根.

综上可得， 时，方程有1个实根； 时，方程有3个实根.