Question

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2

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（1）求圆C的方程．
（2）若圆心在第一象限，求过点（6，5）且与该圆相切的直线方程．

Answer 1

分析：（1）由圆心在直线x-3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（2）圆心在第一象限的圆是（x-3）²+（y-1）²=9，设过点（6，5）且与该圆相切的直线方程为y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，由圆心O（3，1），半径r=3，知

|3k-1+5-6k|

k2+1

=3，由此能求出切线方程．

解答：解：（1）设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离 d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，
而 (

7

)2=r2-d2，9t2-2t2=7，t=±1，
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
（2）圆心在第一象限的圆是（x-3）²+（y-1）²=9，
设过点（6，5）且与该圆相切的直线方程为y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，
∵圆心O（3，1），半径r=3，
∴

|3k-1+5-6k|

k2+1

=3，
解得k=

7

24

．
∴当切线的斜率k存在时，其方程为y-5=

7

24

（x-6），
即7x-24y+78=0．
当切线的斜率k不存在时，其方程为x=6．
故切线方程为7x-24y+78=0，或x=6．

点评：第（1）题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．第（2）考查了圆的切线方程的求法，易错点是当切线的斜率不存在时，容易丢解．