Question

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2

7

，求圆C的方程．

Answer 1

分析：由圆心在直线x-3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答：解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，（4分）
而(

7

)2=r2-d2，9t2-2t2=7，t=±1，（8分）
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9（12分）

点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．