题目内容
用定义证明函数f（x）=
在（0，+∞）上是减函数．
| 2x+3 |
| x+1 |
考点：函数单调性的判断与证明
专题：证明题,函数的性质及应用
分析：先化简f（x），再用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．
解答：
解：∵f（x）=
=2+
，
现在证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2；
则f（x1）-f（x2）=（2+
）-（2+
）
=
；
∵0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）是（0，+∞）上的减函数．
| 2x+3 |
| x+1 |
| 1 |
| x+1 |
现在证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2；
则f（x1）-f（x2）=（2+
| 1 |
| x1+1 |
| 1 |
| x2+1 |
=
| x2-x1 |
| (x1+1)(x2+1) |
∵0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）是（0，+∞）上的减函数．
点评：本题考查了用定义证明函数的单调性问题，其基本步骤是取值、作差、判符号、下结论，是基础题．
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