Question

14．已知点P（2，$\sqrt{3}$），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\\{\;}\end{array}\right.$（t为参数）．以平面直角坐标系坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的极坐标方程；
（2）设曲线与直线l相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程、直角坐标方程间的互化公式，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；利用参数方程、直角坐标方程间的互化公式，把直线l的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程．
（2）把直线l的标准的参数方程代入曲线返程，利用韦达定理以及参数的几何意义，求得|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）由$ρ=4cos（θ-\frac{π}{3}）$得，$ρ=4cosθcos\frac{π}{3}+4sinθsin\frac{π}{3}=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，即 ρ²=2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程为${x^2}+{y^2}-2x-2\sqrt{3}y=0$，即${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}t\\ y=\sqrt{3}+t\end{array}\right.$∴直线l的普通方程为$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∴直线l的极坐标方程为$ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ+1=0$．
（2）$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}t\\ y=\sqrt{3}+t\end{array}\right.$化为标准参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲线C：${x^2}+{y^2}-2x-2\sqrt{3}y=0$得，t²+$\sqrt{3}$t-3=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁•t₂=-3，∴|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=3．

点评 本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的互化，参数的几何意义，属于基础题．