题目内容

17．已知函数g（x）=a-x2（$\frac{1}{e}$≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（　　）
A．0B．$\frac{1}{{e}^{2}}$+3C．e2-1D．e2+$\frac{1}{{e}^{2}}$

分析 由已知，得到方程a-x2=-2lnx?-a=2lnx-x2在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解，构造函数f（x）=2lnx-x2，求出它的值域，得到-a的范围即可得到最值的和．

解答 解：由已知，得到方程a-x2=-2lnx?-a=2lnx-x2在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解．
设f（x）=2lnx-x2，求导得：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e2，
f（x）极大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-a=2lnx-x2在[$\frac{1}{e}$，e]上有解等价于2-e2≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e2-2]．
即有a的最大值和最小值的和为e2-2+1=e2-1．
故选C．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程a-x2=-2lnx?-a=2lnx-x2在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．

练习册系列答案
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6．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x），且方程f（x）=2x有两等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．
（3）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．
7．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a-1）＜0成立的概率是（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{1}{3}$D．$\frac{1}{4}$

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