Question

1．已知抛物线y²=2px，（p＞0）上存在两点关于直线y=x-1对称，则p的取值范围是0＜p＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线x+y-1=0上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点A和B在抛物线上，所以有y₁²=2px₁①，y₂²=2px₂②
①-②得整理得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以k_AB=1，即$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1．
所以y₁+y₂=2p．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则y₀=p．
又M在直线x+y-1=0上，所以x₀=1-y₀=1-p．
则M（1-p，p）．
因为M在抛物线内部，所以y₀²-2px₀＜0．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜$\frac{2}{3}$．
所以p的取值范围是0＜p＜$\frac{2}{3}$．
故答案为：0＜p＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题．