Question

已知函数f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．

Answer 1

分析：（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再由T=

2π

2

得出答案．
（2）先根据x的范围确定2x+

π

4

的范围，再由正弦函数的性质可求出最小值．

解答：解析：f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）
 （1）最小正周期T=

2π

2

=π
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，f（x）在[

π

4

，

π

2

上递增，在[

π

2

，

5π

4

上递减，所以当2x+

π

4

=

π

2

时，f（x）取最大值

2

，此时x的集合为{

π

8

}

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法．一般都先把函数化简为y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再解题．