Question

（本题满分15分）已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足
（为坐标原点）。当 时，求实数的值．

Answer 1

（Ⅰ）故椭圆的方程为．（Ⅱ）  。

本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的难度，解题时要注意的灵活运用．
（1）由题设条件可知 a-c的值，然后利用以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，得到椭圆C的标准方程．
（2）设出直线方程与椭圆联立方程组，结合韦达定理和向量的关系式，得到参数k与t的关系式，进而得到结论。
解：（Ⅰ）由题意知；       ………………2分
又因为，所以，．         ………………4分
故椭圆的方程为．             ………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，
由得．          ……………………7分
，．                ……………………9分
，．又由，得，
                                  ……………………11分
可得．                                           ……………………12分
又由，得，则，．              ……………………13分
故，即．  ……………………14分
得，，即                               ……………………15分