Question

双曲线=1(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.

Answer 1

解：直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.

由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线l的距离

d₁=.

同理得到点(-1,0)到直线l的距离

d₂=.

s=d₁+d₂=.

由s≥c,得≥,

即5a≥2c²,

于是得5≥2e²,

即4e⁴-25e²+25≤0.

解不等式,得≤e²≤5,

由于e＞1＞0,所以e的取值范围是≤e≤.