Question

7．求由抛物线y²=x-1与其在点（2，1），（2，-1）处的切线所围成图形的面积．

Answer 1

分析 求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积．

解答 解：对y²=x-1，两边取x的导数，
可得2yy′=1，
可得在点（2，1）处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，
切线方程为y-1=$\frac{1}{2}$（x-2），即为y=$\frac{1}{2}x$；
在（2，-1）处切线的斜率为-$\frac{1}{2}$，
切线方程为y+1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即为y=-$\frac{1}{2}$x．
可得所围成图形的面积为S=2${∫}_{0}^{1}$（y²+1-2y）dy
=2（$\frac{1}{3}$y³+y-y²）${|}_{0}^{1}$=2×（$\frac{1}{3}$+1-1）=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查定积分的应用：求面积，属于中档题．