Question

已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点F的坐标为（3，0），直线l：x+2y-2=0交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M（1，），
（1）求椭圆的方程；
（2）动点N满足，求动点N的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法及线段AB中点，可得m=4n，与m-n=9联立，即可得到椭圆的方程；
（2）由，x+2y=2，消元求出，因为，所以动点N的轨迹是以M为圆心，|AB|为直径的圆，由此可得N的轨迹方程．
解答：解：（1）由题意设椭圆方程为（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
①，②
①-②，可得
因为线段AB中点，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
所以
所以m=4n，
因为m-n=9，所以m=12，n=3
所以椭圆的方程为（ 6分）
（2）由，x+2y=2，消元可得y²-y-1=0，则：
因为，所以动点N的轨迹是以M为圆心，|AB|为直径的圆
所以，
所以N的轨迹方程为（6分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定圆的圆心与半径．