Question

1．对任意的x，y∈（0，+∞），不等式e^x+y-4+e^x-y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{1}{2}e$
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 通过参数分离，利用基本不等式放缩可知问题转化为2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0时恒成立，记g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，二次求导并结合单调性可知当x=4时g（x）取得最小值g（4）=1，进而计算即得结论．

解答 解：设f（x）=e^x+y-4+e^x-y+4+6，
不等式4xlna≤e^x+y-4+e^x-y+4+6恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．
即有f（x）=e^x（e^y-4+e^-（y-4））+6≥6+2e^x（当且仅当e^y-4=e^-（y-4），即y=0时，取等号），
由不等式e^x+y-4+e^x-y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2e^x-4，
即有2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0时恒成立，
令g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x-4}（x-1）-3}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，即（x-1）e^x-4=3，
令h（x）=（x-1）e^x-4，（x＞0），h′（x）=xe^x-4＞0，
∵x＞0，e^x-4＞0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵h（4）=3，即有（x-1）e^x-4=3的根为4，
∴当x＞4时g（x）递增，当0＜x＜4时g（x）递减，
∴当x=4时，g（x）取得最小值g（4）=1，
∴2lna?1，lna?$\frac{1}{2}$，
∴0＜a?$\sqrt{e}$，（当x=2，y=0时，a取得最大值$\sqrt{e}$），
故选A．

点评 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．