题目内容

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，CC1的中点．
（1）求B到平面AMN的距离
（2）求二面角B-AM-N的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）利用等体积法，求B到平面AMN的距离
（2）求出B到直线AM的距离，即可求二面角B-AM-N的余弦值．
解答： 解：（1）在四面体N-ABM中，S△ABM=
1
2
a2，N到平面ABM的距离为a，
在△AMN中，AN=
2a2+
a2
4
=
3
2
a，MN=
a2
4
+a2+
a2
4
=
6
2
a，AM=
a2+
a2
4
=
5
2
a，
∴cos∠MAN=
9
4
a2+
5
4
a2-
6
4
a2
2•
3
2
a•
5
2
a
=
4
5
15
，
∴sin∠MAN=
145
15
，
∴S△AMN=
1
2
•
3
2
a•
5
2
a•
145
15
=
29
8
a2
∴由等体积可得
1
3
•
1
2
a2•a=
1
3
•
29
8
a2h，
∴h=
4
29
29
a；
（2）设B到直线AM的距离为d，则
由等面积可得d•
5
2
a=a•a，∴d=
2
5
a，
由（1）知B到平面AMN的距离为
4
29
29
a，
设二面角B-AM-N为θ，则sinθ=
4
29
2
5
=
2
5
29
．
∴cosθ=
3
29
29
．
点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合，考查点、线、面间的距离计算，正确运用等体积法是关键．
练习册系列答案
相关题目
若P为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上异于长轴端点的任意一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求
a-b
a+b
的值．
已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的导函数，且 xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
（1）求函数F（x）=
f(x)
x
的单调区间．
（2）若函数f（x）=lnx+ax2，求实数a的取值范围
（3）设x0是f（x）的零点，m，n∈（0，x0），求证：
f(m+n)
f(m)+f(n)
＜1．
定义集合A与B的差集A-B={x|x∈A且x∉B}，记“从集合A中任取一个元素x，x∈A-B”为事件E，“从集合A中任取一个元素x，x∈A∩B”为事件F；P（E）为事件E发生的概率，P（F）为事件F发生的概率，当a、b∈Z，且a＜-1，b≥1时，设集合A={x∈Z|a＜x＜0}，集合B={x∈Z|-b＜x＜b}．给出以下判断：
①当a=-4，b=2时P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
； 
②总有P（E）+P（F）=1成立；
③若P（E）=1，则a=-2，b=1；        
④P（F）不可能等于1．
其中所有正确判断的序号为
 
．
已知f（x）=lnx+1，g（x）=ax+
a-1
x
，F（X）=f（x）-g（x）．
（1）当a=2时，求函数F（x）在区间[
1
e
，e]上的最大值；
（2）若a≤
1
2
，求函数F（x）的单调区间；
（3）在曲线y=f（x）上任取两点P（x1，y1），Q（x2，y2），（x1＜x2），直线PQ的斜率为k，试探索：kx1，1，kx2 三者的大小关系，并说明理由．
已知
k
0
是矩阵A=
1   0
m  2
的一个特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量
k
0
相应的特征值；
（Ⅱ）若矩阵B=
3  2
2  1
，求矩阵B-1A．
某学校组织学生参加体育二课堂训练，三个项目的人数分布如下表（每名学生只能参加一项）：
 短跑长跑跳高
男生30328
女生252m
学生要对着三个项目学生参加情况进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个项目中抽取18人，结果参加跳高的项目被抽出了6人．
（Ⅰ）求跳高项目中被抽出的6人中有5人是男生的概率；
（Ⅱ）设跳高项目有X名女生被抽出，求X的分布列及数学期望E（X）．
函数f（x）=log2x-3sinx的零点个数为
 
．
已知线性方程组的增广矩阵为
11
0a
6
2
，若该线性方程组解为
4
2
，则实数a=
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网