Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c．
（Ⅰ）若f（x）有极值，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极值，且f（x）有三个零点时，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-x+b，要使f（x）有极值，则3x²-x+b=0有两不等实数解，由此能求出b的取值范围．
（Ⅱ）由f′（1）=0，得3-1+b=0，f（x）=x³-

1

2

x2-2x+c=0有3解，等价于g（x）=x³-

1

2

x2-2x与y=-c有3个交点，由此利用导数性质能求出c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，要使f（x）有极值，
则3x²-x+b=0有两不等实数解，…（2分）
从而△=1-12b＞0，∴b＜

1

12

．…（4分）
（Ⅱ）由f′（1）=0得3-1+b=0得b=-2…（5分）
即f（x）=x³-

1

2

x2-2x+c=0有3解，
等价于g（x）=x³-

1

2

x2-2x与y=-c有3个交点，…（7分）
g′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
令g′（x）=0得x=1或-

2

3

，…（9分）
列x，g′（x），g（x）关系表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值 22 27	↓	极小值- 3 2	↑

∵y=-c与g（x）有3个交点
∴-

3

2

＜-c＜

22

27

，故-

22

27

＜c＜

3

2

．…（12分）

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．