Question

5．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB=20米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE=θ，总造价为W元．
（1）试将W表示为θ的函数W（θ），并写出cosθ的取值范围；
（2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．

Answer 1

分析 （1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．构建直角三角形，通过解直角三角形、勾股定理和弧长公式进行解答；
（2）将（1）中的函数关系进行变形得到${W^，}（θ）=8a\frac{（2cosθ-1）（cosθ-2）}{{{{sin}^2}θ}}$．W′（θ）=0，$cosθ=\frac{1}{2}$，因为$（{θ_1}，\frac{π}{2}）$，所以$θ=\frac{π}{3}$．然后结合θ的取值范围进行分类讨论，利用三角函数的单调性进行解答．

解答 解：（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．
在Rt△BNF中，BF=16cosθ，则MG=20-16cosθ
在Rt△MNG中，$MN=\frac{20-16cosθ}{sinθ}$，
由题意易得$CN=16（\frac{π}{2}-θ）$，
因此，$W（θ）=2a•\frac{20-16cosθ}{sinθ}+16a（\frac{π}{2}-θ）$，$cosθ∈（0，\frac{4}{5}]$；
（2）${W^，}（θ）=-16a+8a\frac{4-5cosθ}{{{{sin}^2}θ}}\;=8a\frac{（2cosθ-1）（cosθ-2）}{{{{sin}^2}θ}}$
令W′（θ）=0，$cosθ=\frac{1}{2}$，因为$（{θ_1}，\frac{π}{2}）$，所以$θ=\frac{π}{3}$．
设锐角θ₁满足$cos{θ_1}=\frac{4}{5}$，${θ_1}∈（0，\frac{π}{3}）$
当$θ∈（{θ_1}，\frac{π}{3}）$时，W，（θ）＜0，W（θ）单调递减；
当$θ∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$时，W，（θ）＞0，W（θ）单调递增．
所以当$θ=\frac{π}{3}$，总造价W最小，最小值为$（16\sqrt{3}+\frac{8π}{3}）a$，
此时$MN=8\sqrt{3}$，$NG=4\sqrt{3}$，$NF=8\sqrt{3}$，
因此当$AM=4\sqrt{3}$米时，能使总造价最小．

点评 本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出W关于θ的函数，是解答本题的关键．