Question

3．（1）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，$M=\left\{{m|-\frac{1}{4}≤m＜2}\right\}$，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．
（2）已知命题：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N，当a=1时，解集N为空集，不满足，当a＞1时，求得解集，列不等式组即可求得a的取值范围；
（2）方程x²-x-m=0在（-1，1）上有解，m的取值集合就是函数y=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在（-1，1）上的值域，根据二次函数性质，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N，
当a=1时，解集N为空集、不满足题意；
当a＞1时，a＞2-a，此时集合N={x|2-a＜x＜a}，
则$\left\{{\begin{array}{l}{2-a＜-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\end{array}}\right.$，
所以$a＞\frac{9}{4}$；
（2）由题意得，方程x²-x-m=0在（-1，1）上有解，
∴m的取值集合就是函数y=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在（-1，1）上的值域，值域为[-$\frac{1}{4}$，2），
∴实数m的取值范围[-$\frac{1}{4}$，2）．

点评 本题考查充分条件和必要条件的判断，考查集合的运算，一元二次函数的性质，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．