Question

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为2的倍数，则报该数的同学需拍手一次，已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：先根据题意可确定5位同学所报数值为斐波那契数列，然后可找到甲所报的数的规律，进而可转化为等差数列的知识来解题．

解答： 解：由题意可知：
（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…
（2）该数列的一个规律是，第3，6，9，12，…3n项均是2的倍数．
（3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m-4．
（4）问题可化为求数列{3n}与{5m-4}的共同部分数，
易知，当m=3k+2，n=5k+2时，5m-4=15k+6=3n，又1＜3n≤100，
∴15k+6-4＜100．∴k≤6，
∴甲拍手的总次数为6次．即第6，21，36，51，66，81，96次报数时拍手．
故答案为：6

点评：本题主要考查斐波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用．