Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，
①若A=60°，b=2，c=3，则a=

7

；
②若C=60°，b=

6

，c=3则A=75°；
③b²+c²＜a²，则A为钝角；
④若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；
⑤若

cosC

c

=

cosB

b

+

cosA

a

，则

ab

c2

的最大值为

3

2

，
在这五个命题中真命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,解三角形

分析：①可运用余弦定理，即可判断；②运用正弦定理和边角的关系，即可判断；
③由余弦定理即可判断；④运用直线定理和二倍角的正弦公式，及诱导公式，即可判断；
⑤运用余弦定理和基本不等式，即可求得最大值．

解答： 解：①若A=60°，b=2，c=3，则a²=b²+c²-2bccos60°=4+9-2×2×3×

1

2

=7，故①对；
②若C=60°，b=

6

，c=3，则

6

sinB

=

3

sin60°

，sinB=

1

2

，由于B＜C，则B=45°，A=75°，故②对；
③若b²+c²＜a²，则cosA=

b2+c2-a2

2bc

＜0，则A为钝角．故③对；
④若acosA=bcosB，则sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，即有2A=2B，或2A+2B=180°，
即A=B，或A+B=90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④错；
⑤若

cosC

c

=

cosB

b

+

cosA

a

，

a2+b2-c2

2abc

=

c2+a2-b2

2abc

+

b2+c2-a2

2abc

，即有a²+b²=3c²，
，则

ab

c2

=

3ab

a2+b2

≤

3ab

2ab

=

3

2

，当且仅当a=b取最大值

3

2

．
故答案为：①②③⑤

点评：本题考查解三角形的知识：正弦定理和余弦定理及运用，同时考查三角变换，二倍角公式和诱导公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．