Question

已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

 (1)解　因为f(x)是R上的奇函数，

故f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，  从而有f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

∴f(x)＝.   ∴a＝2，b＝1.

(2)证明　设x₁<x₂，

f(x₁)－f(x₂)＝－  ＝

＝.

∵x₁<x₂，则2x₂－2x₁>0，∴f(x₁)>f(x₂)．   故f(x)是R上的减函数．

(3)解　由(2)知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0等价于f(t²－2t)<－f(2t²－k)＝f(－2t²＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t²－2t>－2t²＋k.   即对一切t∈R有3t²－2t－k>0恒成立，

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.