Question

（21）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数.

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)若对任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即解得b=1.

             从而有f（x）=

又由f（1）=－f（－1）知解得a=2.

（Ⅱ）解法一：

      由（Ⅰ）知f（x）=

                 由上式易知f（x）在（－∞，+∞）上为减函数.

              又因f（x）是奇函数，从而不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于

f（t²-2t）＜－f（2t²-k）=f（－2x²+k）.

              因f（x）是减函数，由上式推得

t²-2t＞-2t²+k.

即对一切t∈R有

3t²-2t-k＞0.

从而判别式Δ=4+12k＜0，解得k＜－.

解法二：

由（Ⅰ）知f（x）=又由题设条件得

即

整理得＞1，因底数2＞1，故

3t²-2t-k＞0.

                  上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ=4+12k＜0，解得k＜－