Question

16．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明：DF∥平面PBE
（Ⅱ）求点F到平面PBE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB的中点G，连接EG、FG，由已知结合三角形中位线定理可得DE∥FG且DE=FG，得四边形DEGF为平行四边形，从而可得DF∥EG，再由线面平行的判定可得DF∥平面PBE；
（Ⅱ）利用等积法可得：V_D-PBE=V_P-BDE，代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则FG∥BC，且FG=$\frac{1}{2}BC$．
∵DE∥BC且DE=$\frac{1}{2}$BC，∴DE∥FG且DE=FG，
∴四边形DEGF为平行四边形，
∴DF∥EG，又EG?平面PBE，DF?平面PBE，
∴DF∥平面PBE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DF∥平面PBE，
∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，
故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，
利用等体积法：V_D-PBE=V_P-BDE，即$\frac{1}{3}{S}_{△PBE}•d=\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•PD$．
${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}•DE•AB=1$，
∵$PE=BE=\sqrt{5}$，$PB=2\sqrt{3}$，∴${S}_{△PBE}=\sqrt{6}$．
∴d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．