Question

如图，边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（1）求证：A′D⊥EF；
（2）当BE=BF=

1

3

BC时，求三棱锥E-A′FD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，从而A′D⊥平面A′EF，由此能证明A′D⊥EF．
（2）由VE-A′FD=VD-A′FE，利用等积法能求出三棱锥E-A′FD的体积．

解答： （1）证明：将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，
使A，C两点重合于点A′，则DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，
又∵A′E?面A′EF，A′F⊥面A‘EF，且A′E∩A′F=A′，
∴A′D⊥平面A′EF，∵EF?面A'EF，
∴A′D⊥EF．…（5分）
（2）解：在边长为3的正方形ABCD中，
BE=BF=

1

3

BC=1，∴AE=CF=2，
∴EF=

2

，A′E=A′F=2，∴SA′EF=

7

2

，
∴VE-A′FD=VD-A′FE=

1

3

S△A′FE•AD=

7

2

．…（10分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．