Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-2，4]上的最大值是28．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，设f（x）=ax（x-5）（a＞0），可得函数图象的对称轴x=2.5，恰好位于区间[-2，4]，得f（x）的最大值是f（-2）=14a=28，得a=2，可得函f（x）数的表达式；
（2）分t+1≤2.5时、t≥2.5时和1.5＜t＜2.5时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最小值，最后综合可得g（t）的表达式．

解答： 解：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可设f（x）=ax（x-5）（a＞0）．
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值是f（-2）=14a．
由已知，得14a=28，∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）由（1）得f（x）=2（x-2.5）²-12.5，函数图象的开口向上，对称轴为x=2.5
①当t+1≤2.5时，即t≤1.5时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
此时f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=2（t+1）²-10（t+1）=2t²-6t-8；
②当t≥2.5时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
此时f（x）的最小值g（t）=f（t）=2t²-10t；
③当1.5＜t＜2.5时，函数y=f（x）在对称轴处取得最小值
此时，g（t）=f（2.5）=-12.5
综上所述，得g（t）的表达式为：g（t）=

2t2-6t-8，t≤1.5 -12.5，1.5＜t＜2.5 2t2-10t，t≥2.5

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点评：本题给出一元二次不等式的解集，求二次函数的表达式并求它在闭区间上的最小值，着重考查了二次函数的图象与性质、不等式的解法等知识，属于中档题．