Question

【题目】如图,在以为顶点的五面体中,底面是矩形, .

(1)证明: 平面;

(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍的体积求法表述为:

术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍的“下袤” 的长为,“上袤” 的长为,“广” 的长为,“高”即“点到平面的距离”为,则刍甍的体积的计算公式为: ,证明该体积公式.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)利用割补法证明 .

详解：（1）证明：是矩形，，

又平面，平面

平面，

又平面，平面平面

又平面，平面，

平面.

（2）解：设分别是棱上的点，且满足，

链接.由第（1）问的证明知，，

所以四边形和为平行四边形.

，

又，平面，

多面体为三棱柱.

因此，刍甍可别分割成四棱锥和三棱柱.

由题意知，矩形中，

矩形的面积，

又四棱锥的高，即“点到平面的距离”为，

四棱锥的体积；

三棱柱的体积可以看成是以矩形为底,以点到平面的距离为高的四棱柱体积的一半.

又矩形的面积

三棱柱的体积

刍甍的体积：

.

刍甍体积公式得证.