Question

【题目】已知椭圆E:，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.

（Ⅰ）求椭圆E的离心率；

（Ⅱ）如图，若直线l与椭圆相交于AB且AB是圆的一条直径，求椭圆E的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（Ⅰ）根据题设中的等腰直角三角形可以得到，代入椭圆方程得到的关系，可从中解得离心率．

（Ⅱ）因为圆的直线，故弦的长度和中点已知，通过设交点的坐标和直线的方程，联立直线方程和椭圆方程并消元后利用韦达定理得到中点坐标与斜率的关系，最后再通过弦长为得到的大小．

详解：（Ⅰ）由题意得椭圆上的点坐标为，

代入椭圆方程可得，即，

∴，∴，∴．

（Ⅱ）设椭圆方程为，直线为，，

由 得（*）

故，．

又，故 ，

则，

故， ，椭圆方程为.