Question

一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）由图形可知，底面ABCD为菱形，设AC，BD的交点为O，通过证明OE∥PB证得PB∥平面AEC；
（2）三棱锥E-ACD的底面面积易求，高为四棱锥P-ABCD高PO的一半，利用锥体体积公式计算即可．

解答： 解：（1）由图形可知，该四棱锥的底面ABCD为菱形，
且有一角为60°，边长为2，锥体高度为1．
设AC，BD的交点为O，连接OE，OE为△DPB的中位线，
OE∥PB，OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC
（2）S_△ACD=

1

2

AD•DC•sin120°=

3

．
∵E为侧棱PD的中点，
∴三棱锥E-ACD的高是四棱锥P-ABCD高的一半，即

1

2

，
∴V_E-ACD=

1

3

×

3

×

1

2

=

3

6

．

点评：本题考查几何体的直观图及三视图，考查空间想象能力，计算能力．