题目内容
三个城市分别位于A，B，C三点处（如图），且
km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．（Ⅰ）设OA=x（km），或OB=x（km），或点O到BC的距离为x（km），或∠CBO=x（rad）．请你选择用其中的某个x，将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．
【答案】分析：（Ⅰ）设OB=x（km），在Rt△ODB中，可求得OD=
，从而可得y是x的函数表达式；若设OA=x（km），可求得y=x+
（0≤x≤20）；若设∠CBO=x（rad），可求得y=20+
（0≤x≤
）；
（Ⅱ）由y=2x+20-
（20≤x≤20
），可求得y′=2-
，利用导数法求得在[20，20
]上的极小值即可．
解答：
解：（Ⅰ）设OB=x（km），延长AO交于BC于点D．
∵BD=DC=
BC=20，OB=OC，
∴OA=AD-0D=
-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=
，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-
，
又20≤x≤20
，
∴y=2x+20-
（20≤x≤20
）…（6分）
（若设OA=x（km），则y=x+2
（0≤x≤20）；
若设∠CBO=x（rad），
则y=20-20tanx+2×
=20+
（0≤x≤
）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系y=2x+20-
（20≤x≤20
），来确定符合要求的货运中转站的位置．
∵y=2x+20-
（20≤x≤20
），
∴y′=2-
，令y'=0得x=
，或x=-
（舍去）．
当
时，y'＜0；当
时，y'＞0，
∴函数y在
时，取得极小值，这个极小值就是函数y在
上的最小值．…（11分）
因此，当货运中转站建在三角形区内且到B、C两点的距离均为
km时，修建的道路的总长度最短．…（13分）
点评：本题考查解三角形的实际应用，着重考查求函数解析式的方法，求得函数解析式是关键，注重综合分析与应用能力的考查，属于难题．
，从而可得y是x的函数表达式；若设OA=x（km），可求得y=x+
（0≤x≤20）；若设∠CBO=x（rad），可求得y=20+
（0≤x≤
）；（Ⅱ）由y=2x+20-
（20≤x≤20
），可求得y′=2-
，利用导数法求得在[20，20
]上的极小值即可．解答：
解：（Ⅰ）设OB=x（km），延长AO交于BC于点D．∵BD=DC=
BC=20，OB=OC，∴OA=AD-0D=
-OD=20-OD，在Rt△ODB中，OD=
，∴y=OA+OB+OC=2x+20-
，又20≤x≤20
，∴y=2x+20-
（20≤x≤20
）…（6分）（若设OA=x（km），则y=x+2
（0≤x≤20）；若设∠CBO=x（rad），
则y=20-20tanx+2×
=20+
（0≤x≤
）；（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系y=2x+20-
（20≤x≤20
），来确定符合要求的货运中转站的位置．∵y=2x+20-
（20≤x≤20
），∴y′=2-
，令y'=0得x=
，或x=-
（舍去）．当
时，y'＜0；当
时，y'＞0，∴函数y在
时，取得极小值，这个极小值就是函数y在
上的最小值．…（11分）因此，当货运中转站建在三角形区内且到B、C两点的距离均为
km时，修建的道路的总长度最短．…（13分）点评：本题考查解三角形的实际应用，着重考查求函数解析式的方法，求得函数解析式是关键，注重综合分析与应用能力的考查，属于难题．
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