题目内容
三个城市襄阳、荆州、武汉分别位于A,B,C三点处(如右图),且
(Ⅰ)设OB=x(km),将y表示为x的函数;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中建立的函数关系,确定货运中转站的位置,使修建的道路的总长度最短.

【答案】分析:(Ⅰ)设OB=xkm,延长AO交BC于D,由题意知BD=DC=
,OB=OC,OA=AD-OD=
=20-OD,由此能够将y表示为x的函数.
(Ⅱ)由y=2x+20-
,知
,由此能推导出当货物中转站建立在三角形区域内,且到B,C两点的距离均为
km时,修建的道路和总长度最短.
解答:解:(Ⅰ)设OB=x(km),延长AO交BC于D,
由题意知BD=DC=
,OB=OC,
OA=AD-OD=
=20-OD,
在Rt△ODB中,OD=
=
,
∴y=OA+OB+OC=2x+20-
,20≤x≤20
.
(Ⅱ)∵y=2x+20-
,
∴
,
∵20≤x≤20
,
∴x∈[20,
)时,y′0.
∴函数在x=
时,取得极小值,这个极小值是函数在[20,20
]上的最小值.

所以,当货物中转站建立在三角形区域内,且到B,C两点的距离均为
km时,修建的道路和总长度最短.
点评:本题考查导数在求最大值和求最小值中的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.


(Ⅱ)由y=2x+20-



解答:解:(Ⅰ)设OB=x(km),延长AO交BC于D,
由题意知BD=DC=

OA=AD-OD=

在Rt△ODB中,OD=


∴y=OA+OB+OC=2x+20-


(Ⅱ)∵y=2x+20-

∴

∵20≤x≤20

∴x∈[20,

∴函数在x=



所以,当货物中转站建立在三角形区域内,且到B,C两点的距离均为

点评:本题考查导数在求最大值和求最小值中的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.

练习册系列答案
相关题目