Question

三个城市襄阳、荆州、武汉分别位于A，B，C三点处（如右图），且km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．
（Ⅰ）设OB=x（km），将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设OB=xkm，延长AO交BC于D，由题意知BD=DC=，OB=OC，OA=AD-OD==20-OD，由此能够将y表示为x的函数．
（Ⅱ）由y=2x+20-，知，由此能推导出当货物中转站建立在三角形区域内，且到B，C两点的距离均为km时，修建的道路和总长度最短．
解答：解：（Ⅰ）设OB=x（km），延长AO交BC于D，
由题意知BD=DC=，OB=OC，
OA=AD-OD==20-OD，
在Rt△ODB中，OD==，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-，20≤x≤20．
（Ⅱ）∵y=2x+20-，
∴，
∵20≤x≤20，
∴x∈[20，）时，y′0．
∴函数在x=时，取得极小值，这个极小值是函数在[20，20]上的最小值．

所以，当货物中转站建立在三角形区域内，且到B，C两点的距离均为km时，修建的道路和总长度最短．
点评：本题考查导数在求最大值和求最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．