Question

设a为实数，函数f(x)＝x³－x²－x＋a．

(1)求f(x)的极值．

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？

Answer 1

答案：
解析：

解：(x)＝3x2－2x－1，令(x)＝0，则x＝或x＝1．当x变化时，(x)、f(x)的变化情况如下表： 　　所以f(x)的极大值是f()＝＋a，极小值是f(1)＝a－1． 　　(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 　　结合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值＋a＜0，即a∈(－∞，)时，它的极小值也小于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f(x)的极小值a－1＞0，即a∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，它在(－∞，)上．所以当a∈(－∞，)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点． 　　解析：(1)根据求极值的方法，直接求极值，用a表示结果；(2)数形结合，根据极值与x轴的关系讨论a的范围．